Chapter5-1 MATH1408

矩阵多项式与Jordan标准型

1. 矩阵多项式 (Matrix Polynomial) 与零化多项式 (Annihilating Polynomial)

1.1 矩阵多项式

• 定义: 设 $f(x) = c_m x^m + c_{m-1} x^{m-1} + \dots + c_1 x + c_0$ 是一个数域 $F$ 上的多项式。对于 $n$ 阶方阵 $A$，定义矩阵多项式为：
  $f(A) = c_m A^m + c_{m-1} A^{m-1} + \dots + c_1 A + c_0 E$
  其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。

• 性质:

  • 若 $f(x) = g(x) + h(x)$，则 $f(A) = g(A) + h(A)$。
  • 若 $f(x) = g(x)h(x)$，则 $f(A) = g(A)h(A)$。
  • 由于矩阵乘法一般不可交换，所以 $g(A)h(A)$ 通常不等于 $h(A)g(A)$。但如果 $g(x)$ 和 $h(x)$ 是关于 $x$ 的多项式，则 $g(A)$ 和 $h(A)$ 是可交换的，因为它们都是 $A$ 的幂和单位矩阵的线性组合。

1.2 零化多项式 (Annihilating Polynomial / Nullifying Polynomial)

• 定义: 设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵， $f(x)$ 是一个数域 $F$ 上的多项式。如果 $f(A) = O$ (零矩阵)，则称 $f(x)$ 是矩阵 $A$ 的一个零化多项式。

• 存在性: 对于任意 $n$ 阶方阵 $A$，其零化多项式总是存在的。

  • 考虑矩阵序列 $E, A, A^2, \dots, A^{n^2}$。这些是 $n^2+1$ 个 $n \times n$ 矩阵。
  • $n \times n$ 矩阵构成的线性空间 $M_n(F)$ 的维数是 $n^2$。
  • 因此，上述 $n^2+1$ 个矩阵在线性空间 $M_n(F)$ 中必定线性相关。
  • 即存在不全为零的标量 $c_0, c_1, \dots, c_{n^2}$ 使得 $c_0 E + c_1 A + \dots + c_{n^2} A^{n^2} = O$。
  • 令 $f(x) = c_{n^2} x^{n^2} + \dots + c_1 x + c_0$，则 $f(x)$ 是 $A$ 的一个非零零化多项式。
  • (Cayley-Hamilton 定理给出了一个次数最高为 $n$ 的零化多项式)。

• 若 $B$ 是可逆矩阵，$f(x)$ 是 $A$ 的零化多项式，则 $f(x)$ 也是 $B^{-1}AB$ 的零化多项式。

  • 证明: $f(B^{-1}AB) = B^{-1}f(A)B = B^{-1}OB = O$。

2. Cayley-Hamilton 定理 (Cayley-Hamilton Theorem)

• 定理叙述: 每个方阵 $A$ 都是其自身特征多项式的根。
  即，若 $f_A(\lambda) = |\lambda E - A| = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + a_1\lambda + a_0$ 是 $A$ 的特征多项式，则 $f_A(A) = A^n + a_{n-1}A^{n-1} + \dots + a_1A + a_0E = O$。

• 证明思路:
  令 $B(\lambda) = \text{adj}(\lambda E - A)$ 是 $\lambda E - A$ 的伴随矩阵。
  伴随矩阵的元素是 $\lambda E - A$ 的代数余子式，它们是关于 $\lambda$ 的次数不超过 $n-1$ 的多项式。
  因此， $B(\lambda)$ 可以表示为：
  $B(\lambda) = B_{n-1}\lambda^{n-1} + B_{n-2}\lambda^{n-2} + \dots + B_1\lambda + B_0$
  其中 $B_j$ 是 $n$ 阶常数矩阵 (其元素是 $A$ 中元素的某些组合)。
  根据伴随矩阵的性质：$(\lambda E - A) \text{adj}(\lambda E - A) = |\lambda E - A| E$。
  即 $(\lambda E - A) B(\lambda) = f_A(\lambda) E$。
  $(\lambda E - A)(B_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + B_0) = (\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + a_0)E$
  展开左边：
  $\lambda B_{n-1}\lambda^{n-1} + \lambda B_{n-2}\lambda^{n-2} + \dots + \lambda B_0 - A B_{n-1}\lambda^{n-1} - A B_{n-2}\lambda^{n-2} - \dots - A B_0$
  $= B_{n-1}\lambda^n + (B_{n-2} - A B_{n-1})\lambda^{n-1} + \dots + (B_0 - A B_1)\lambda - A B_0$
  比较两边 $\lambda$ 的同次幂的系数矩阵：

  • $\lambda^n$: $B_{n-1} = E$
  • $\lambda^{n-1}$: $B_{n-2} - A B_{n-1} = a_{n-1}E$
  • …
  • $\lambda^1$: $B_0 - A B_1 = a_1E$
  • $\lambda^0$: $- A B_0 = a_0E$

  将上述等式依次左乘 $A^n, A^{n-1}, \dots, A, E$：

  • $A^n B_{n-1} = A^n E$
  • $A^{n-1}(B_{n-2} - A B_{n-1}) = A^{n-1} a_{n-1}E \Rightarrow A^{n-1}B_{n-2} - A^n B_{n-1} = a_{n-1}A^{n-1}$
  • …
  • $A(B_0 - A B_1) = A a_1E \Rightarrow AB_0 - A^2 B_1 = a_1A$
  • $E(- A B_0) = E a_0E \Rightarrow -A B_0 = a_0E$

  将这些等式全部相加，左边的项会成对抵消：
  $(A^n B_{n-1}) + (A^{n-1}B_{n-2} - A^n B_{n-1}) + \dots + (AB_0 - A^2 B_1) + (-A B_0)$
  $= A^n E + a_{n-1}A^{n-1} + \dots + a_1A + a_0E$
  左边化简后为 $0$。 （这里有个更简洁的看法：直接在 $B_{n-1} = E, B_{k-1} - AB_k = a_k E, -AB_0 = a_0E$ 中，将 $A$ “代入” $\lambda$）
  更直接地，将 $B_{n-1}=E$ 代入第二个式子得 $B_{n-2} - A = a_{n-1}E$, 即 $B_{n-2} = A + a_{n-1}E$。
  代入 $B_{k-1} = A B_k + a_k E$ 的关系。
  将 $(\lambda E - A) B(\lambda) = f_A(\lambda) E$ 这个关于多项式矩阵的恒等式，直接看作一个“值”为 $A$ 的替换 (虽然严格来说不能直接代入矩阵，但可以通过构造一个以矩阵为系数的多项式环来理解，或者通过元素来证明)。
  $f_A(A) = A^n + a_{n-1}A^{n-1} + \dots + a_1A + a_0E = O$。
  □

  注意: 不能简单地在 $|\lambda E - A|=0$ 中直接令 $\lambda = A$ 得到 $|A \cdot E - A| = |O| = 0$。行列式是一个数，而 $f_A(A)$ 是一个矩阵。

3. 最小多项式 (Minimal Polynomial)

• 定义: 设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵。在 $A$ 的所有非零零化多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为 $A$ 的最小多项式，记为 $m_A(x)$ 或 $m(x)$。

• 性质:

  1. 唯一性: 对任意方阵 $A$，其最小多项式是唯一的。
     • 证明: 假设 $m_1(x)$ 和 $m_2(x)$ 都是 $A$ 的最小多项式。则它们的次数相同，首项系数都为1。
       令 $d(x) = m_1(x) - m_2(x)$。则 $d(A) = m_1(A) - m_2(A) = O - O = O$。
       如果 $d(x) \ne 0$，则 $\text{deg}(d(x)) < \text{deg}(m_1(x))$ (因为首项抵消)。
       如果 $d(x) \ne 0$，可以将 $d(x)$ 除以其首项系数得到一个首项为1的零化多项式，其次数严格小于最小多项式的次数，矛盾。
       因此 $d(x) = 0$，即 $m_1(x) = m_2(x)$。
       □
  2. 整除性: 任何 $A$ 的零化多项式 $g(x)$ 都能被 $A$ 的最小多项式 $m_A(x)$ 整除。
     即，若 $g(A)=O$，则 $m_A(x) | g(x)$。
     • 证明: 用 $g(x)$ 除以 $m_A(x)$，得 $g(x) = q(x)m_A(x) + r(x)$，其中 $r(x)=0$ 或 $\text{deg}(r(x)) < \text{deg}(m_A(x))$。
       代入 $A$：$g(A) = q(A)m_A(A) + r(A)$。
       因为 $g(A)=O$ 且 $m_A(A)=O$，所以 $r(A)=O$。
       如果 $r(x) \ne 0$，则 $r(x)$ 是一个次数低于 $m_A(x)$ 的零化多项式。将 $r(x)$ 首项系数化为1后，就得到了一个次数更低的零化多项式，与 $m_A(x)$ 的最小性矛盾。
       因此 $r(x) = 0$，即 $m_A(x)$ 整除 $g(x)$。
       □
  3. 特征多项式与最小多项式关系: $A$ 的最小多项式 $m_A(x)$ 整除其特征多项式 $f_A(x)$。
     • 证明: 由 Cayley-Hamilton 定理，$f_A(A)=O$，所以 $f_A(x)$ 是 $A$ 的一个零化多项式。根据性质2，$m_A(x) | f_A(x)$。
       □
  4. 根的性质: $A$ 的最小多项式 $m_A(x)$ 与特征多项式 $f_A(x)$ 有相同的根 (即 $A$ 的所有特征值)，只是重数可能不同。
     • 证明:
       设 $\lambda_0$ 是 $A$ 的一个特征值，$m_A(x)$ 是最小多项式。
       $m_A(A)=O$。若 $\alpha$ 是对应于 $\lambda_0$ 的特征向量，则 $m_A(A)\alpha = O\alpha = 0$。
       又 $m_A(A)\alpha = m_A(\lambda_0)\alpha$ (因为 $A^k \alpha = \lambda_0^k \alpha$)。
       所以 $m_A(\lambda_0)\alpha = 0$。因为 $\alpha \ne 0$，所以 $m_A(\lambda_0) = 0$。
       这表明 $A$ 的每个特征值都是 $m_A(x)$ 的根。
       反之，若 $\mu$ 是 $m_A(x)$ 的根，即 $m_A(\mu)=0$。则 $m_A(x) = (x-\mu)q(x)$。
       由于 $m_A(x)|f_A(x)$，所以 $(x-\mu)|f_A(x)$，即 $\mu$ 也是特征多项式的根，从而是 $A$ 的特征值。
       □
  5. 相似不变量: 相似矩阵有相同的最小多项式。
     • 证明: 设 $A \sim C$，即 $C = P^{-1}AP$。
       $m_A(C) = m_A(P^{-1}AP) = P^{-1}m_A(A)P = P^{-1}OP = O$。
       所以 $m_A(x)$ 是 $C$ 的一个零化多项式。因此 $m_C(x) | m_A(x)$。
       同理， $m_B(x)$ 是 $A$ 的一个零化多项式，所以 $m_A(x) | m_C(x)$。
       由于它们都是首1多项式，所以 $m_A(x) = m_C(x)$。
       □
  6. 对角化条件: 矩阵 $A$ 可对角化的充要条件是其最小多项式 $m_A(x)$ 无重根。
     即 $m_A(x) = (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\dots(x-\lambda_s)$，其中 $\lambda_i$ 互不相同。
     (这个定理非常重要，但证明较复杂，通常在更高级的线性代数中给出)。

• 计算最小多项式:
  由于 $m_A(x) | f_A(x)$ 且它们有相同的根，所以如果 $f_A(x) = \prod (x-\lambda_i)^{k_i}$，则 $m_A(x) = \prod (x-\lambda_i)^{r_i}$，其中 $1 \le r_i \le k_i$。
  可以通过尝试 $f_A(x)$ 的不同次数的因子来找到满足 $g(A)=O$ 且次数最低的那个。

4. 线性变换的零化多项式与不变子空间

(这部分内容在原始PPT中似乎用更抽象的线性变换语言描述，我尝试对应到矩阵上)

• B-不变子空间 (B-invariant subspace): 设 $B$ 是一个线性变换 (或矩阵)。子空间 $W$ 称为 $B$-不变的，如果对任意 $\alpha \in W$，都有 $B(\alpha) \in W$ (或 $B\alpha \in W$)。

• 向量 $\alpha$ 关于变换 $B$ 的零化多项式 / $B$-次数 ($B$-order of $\alpha$):
  对于非零向量 $\alpha$，考虑序列 $\alpha, B(\alpha), B^2(\alpha), \dots$。由于向量空间维数有限，这个序列最终会线性相关。
  存在一个次数最小的、首项为1的多项式 $m_{B,\alpha}(x)$ 使得 $m_{B,\alpha}(B)(\alpha) = 0$。这个多项式称为 $\alpha$ 关于 $B$ 的零化多项式或最小多项式。
  其次数 $t = \text{deg}(m_{B,\alpha}(x))$ 称为 $\alpha$ 的 $B$-次数。这意味着 $B^t(\alpha)$ 可以被 $\alpha, B(\alpha), \dots, B^{t-1}(\alpha)$ 线性表示，且这 $t$ 个向量是线性无关的。
  即 $B^t(\alpha) + c_{t-1}B^{t-1}(\alpha) + \dots + c_0\alpha = 0$。
  $m_{B,\alpha}(x) = x^t + c_{t-1}x^{t-1} + \dots + c_0$。

• 性质:

  1. 如果 $\alpha$ 的 $B$-次数为 $t$，则 $B(\alpha)$ 的 $B$-次数为 $t-1$ (除非 $t=0$ 或 $B(\alpha)=0$ 导致次数更低)。 (更准确地说，如果 $m_{B,\alpha}(B)(\alpha)=0$，则 $B \cdot m_{B,\alpha}(B)(\alpha) = m_{B,\alpha}(B)(B\alpha) = 0$。若 $m_{B,\alpha}(x) = x \cdot q(x)$，则 $q(B)(B\alpha)=0$。)
  2. 特征向量的 $B$-次数为 1 (因为 $(B-\lambda E)(\alpha)=0$，所以 $m_{B,\alpha}(x) = x-\lambda$)。
  3. 若 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 的 $B$-次数均为 $t_1$，则它们的线性组合 $\sum k_i \alpha_i$ 的 $B$-次数 $\le t_1$。

5. Jordan 链与 Jordan 块

• Jordan 链 (Jordan Chain):
  设 $B$ 是一个线性变换 (通常考虑 $B = A - \lambda E$ 这样一个幂零变换)。
  一个由向量 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_t$ 组成的序列称为一个长度为 $t$ 的 Jordan 链 (对应于特征值 $\lambda$，如果 $B=A-\lambda E$)，如果：

  • $B(\alpha_1) = 0$ ($\alpha_1$ 是特征向量)
  • $B(\alpha_2) = \alpha_1$
  • $B(\alpha_3) = \alpha_2$
  • …
  • $B(\alpha_t) = \alpha_{t-1}$
  • 且 $\alpha_t \ne 0$。
    向量 $\alpha_t$ 称为链首 (generating vector)，$\alpha_1$ 称为链尾。
    注意：有时定义是从 $\alpha_t$ 开始：$B(\alpha_t) = \alpha_{t-1}, \dots, B(\alpha_2)=\alpha_1, B(\alpha_1)=0$。
    在这种定义下，$\alpha_t$ 的 $(A-\lambda E)$-次数 (或 $B$-次数) 是 $t$，且 $(A-\lambda E)^t(\alpha_t)=0$ 但 $(A-\lambda E)^{t-1}(\alpha_t)=\alpha_1 \ne 0$。
    向量组 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_t\}$ 是线性无关的。

• 循环子空间 (Cyclic Subspace) / Jordan 链生成的子空间:
  由 Jordan 链 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_t\}$ (其中 $(A-\lambda E)\alpha_k = \alpha_{k-1}$ for $k>1$, $(A-\lambda E)\alpha_1=0$) 张成的子空间 $L(\alpha_t) = \text{span}\{\alpha_1, \dots, \alpha_t\}$ 是 $A$-不变的。
  (因为 $A\alpha_k = \lambda\alpha_k + \alpha_{k-1} \in L(\alpha_t)$, $A\alpha_1 = \lambda\alpha_1 \in L(\alpha_t)$)。
  在这组基 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_t\}$ 下，线性变换 $A$ 限制在 $L(\alpha_t)$ 上的矩阵表示为 Jordan 块:
  $J_t(\lambda) = \begin{pmatrix}
  \lambda & 1 & & & \\
  & \lambda & 1 & & \\
  & & \ddots & \ddots & \\
  & & & \lambda & 1 \\
  & & & & \lambda
  \end{pmatrix}_{t \times t}$
  (如果基的顺序是 $\alpha_t, \alpha_{t-1}, \dots, \alpha_1$，则1在主对角线上方；如果基是 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_t$，则1在主对角线下方，具体看定义)。
  PPT中似乎暗示 $B\alpha = B\alpha$, $B$ 限制在 $L(\alpha_t)$ (这里 $\alpha_t$ 是链首，即 $B^{t-1}\alpha_t \ne 0, B^t \alpha_t = 0$) 上的矩阵是 $J(0)$ (即特征值为0的Jordan块)。这是因为他们考虑的是幂零变换 $B = A-\lambda_i E$。
  $B(\alpha_t) = \alpha_{t-1}$
  …
  $B(\alpha_2) = \alpha_1$
  $B(\alpha_1) = 0$
  若基为 $\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_t\}$，则 $B$ 在此基下的矩阵为：
  $B \rightarrow \begin{pmatrix}
  0 & 1 & & & \\
  & 0 & 1 & & \\
  & & \ddots & \ddots & \\
  & & & 0 & 1 \\
  & & & & 0
  \end{pmatrix}$ (1在主对角线上方)。

6. 广义特征子空间 (Generalized Eigenspace) 与 Jordan 标准型定理

6.1 广义特征向量与广义特征子空间

• 广义特征向量 (Generalized Eigenvector): 对应于特征值 $\lambda$ 的广义特征向量 $\alpha$ 是指存在某个正整数 $m$ 使得 $(A-\lambda E)^m \alpha = 0$。
• 广义特征子空间 (Generalized Eigenspace): 对应于特征值 $\lambda_i$ 的广义特征子空间 $R_{\lambda_i}$ (或 $K_{\lambda_i}$) 定义为：
  $R_{\lambda_i} = \{ \alpha \in V \mid (A-\lambda_i E)^m \alpha = 0 \text{ for some positive integer } m \}$
  等价地，$R_{\lambda_i} = \text{ker}((A-\lambda_i E)^{k_i})$，其中 $k_i$ 是 $\lambda_i$ 在特征多项式中的代数重数 (或者取足够大的 $m$，例如 $m=n$)。
• $R_{\lambda_i}$ 是 $A$-不变子空间。

6.2 空间分解定理 (Primary Decomposition Theorem)

• 定理: 设 $V$ 是一个 $n$ 维复向量空间，$A: V \to V$ 是一个线性变换。设 $f_A(x) = (x-\lambda_1)^{k_1}(x-\lambda_2)^{k_2}\dots(x-\lambda_s)^{k_s}$ 是 $A$ 的特征多项式，其中 $\lambda_i$ 是互异的特征值，$k_i$ 是代数重数。
  则 $V$ 可以分解为广义特征子空间的直和：
  $V = R_{\lambda_1} \oplus R_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus R_{\lambda_s}$
  并且 $\text{dim}(R_{\lambda_i}) = k_i$。

• 证明概要:

  1. 令 $f_i(x) = f_A(x) / (x-\lambda_i)^{k_i}$。则 $f_1(x), \dots, f_s(x)$ 互质。
  2. 因此存在多项式 $u_1(x), \dots, u_s(x)$ 使得 $\sum_{j=1}^s u_j(x)f_j(x) = 1$。
  3. 对任意 $\alpha \in V$，$\alpha = \sum_{j=1}^s u_j(A)f_j(A)(\alpha)$。
  4. 令 $\alpha_j = u_j(A)f_j(A)(\alpha)$。可以证明 $\alpha_j \in R_{\lambda_j}$ (因为 $(A-\lambda_j E)^{k_j} \alpha_j = (A-\lambda_j E)^{k_j} u_j(A)f_j(A)(\alpha) = u_j(A)f_A(A)(\alpha) = 0$ by Cayley-Hamilton)。
  5. 这表明 $V = R_{\lambda_1} + \dots + R_{\lambda_s}$。
  6. 再证明这个和是直和。设 $\sum \gamma_j = 0$ 且 $\gamma_j \in R_{\lambda_j}$。通过乘以适当的 $(A-\lambda_k E)^{m_k}$ 并利用 $\lambda_i$ 互异的性质，可以证明每个 $\gamma_j=0$。
  7. 最后证明 $\text{dim}(R_{\lambda_i}) = k_i$。

6.3 Jordan 标准型定理

• 定理: 任何一个定义在代数闭域 (如复数域 $\mathbb{C}$) 上的 $n$ 阶方阵 $A$ 都相似于一个 Jordan 标准型矩阵 $J$。
  $P^{-1}AP = J = \text{diag}(J_1, J_2, \dots, J_q)$
  其中每个 $J_k$ 是一个 Jordan 块，形如 $J_{m_k}(\lambda_{i_k})$，对应某个特征值 $\lambda_{i_k}$。
  $J$ 中的 Jordan 块的结构 (大小和对应的特征值) 在不计排列顺序的情况下是唯一的。

• 构造 Jordan 标准型 (对幂零变换):
  Jordan 标准型理论的核心在于处理幂零变换 (nilpotent transformation)，即某个幂次为零矩阵的变换 $B$ ($B^t=O$)。

  1. 对每个广义特征子空间 $R_{\lambda_i}$，考虑变换 $B_i = A - \lambda_i E$ 限制在 $R_{\lambda_i}$ 上。则 $B_i$ 是幂零变换。
  2. 对每个幂零变换 $B_i$ 作用在 $R_{\lambda_i}$ 上，可以找到一组基，使得 $B_i$ 在这组基下的矩阵是 Jordan 块 $J(\mathbf{0})$ (对角元为0) 的直和。
  3. 这组基是由若干条 Jordan 链的向量组成的。
  4. $A$ 限制在 $R_{\lambda_i}$ 上的矩阵将是 $J(\lambda_i)$ (对角元为 $\lambda_i$) 的直和。
  5. 将所有 $R_{\lambda_i}$ 的 Jordan 基合并起来，就得到 $A$ 的 Jordan 标准型。

• Jordan 块的个数和大小:
  对于特征值 $\lambda_i$：

  • 尺寸至少为 $k$ 的 Jordan 块的个数为 $\text{rank}((A-\lambda_i E)^{k-1}) - \text{rank}((A-\lambda_i E)^k)$。
  • 尺寸恰好为 $k$ 的 Jordan 块的个数 $N_k(\lambda_i)$ 可以通过以下公式计算：
    $N_k(\lambda_i) = \text{rank}((A-\lambda_i E)^{k-1}) - 2 \cdot \text{rank}((A-\lambda_i E)^k) + \text{rank}((A-\lambda_i E)^{k+1})$
    (需要 $N_0=0$ 和 $(A-\lambda_i E)^0 = E$)。
  • 对应于 $\lambda_i$ 的 Jordan 块的总个数 (即 Jordan 链的条数) 等于 $\lambda_i$ 的几何重数，即 $\text{dim}(\text{ker}(A-\lambda_i E)) = n - \text{rank}(A-\lambda_i E)$。

6.4 Jordan 标准型的唯一性

• Jordan 标准型在不计 Jordan 块排列顺序的情况下是唯一的。这意味着对于给定的矩阵 $A$，其 Jordan 块的个数、每个 Jordan 块的大小以及对应的特征值都是唯一确定的。

6.5 例子 (PPT 中的例子)

PPT 中给出了几个计算 Jordan 标准型的例子，步骤通常是：

1. 计算特征多项式 $f_A(\lambda)$，找出所有特征值 $\lambda_i$ 及其代数重数 $k_i$。
2. 对每个特征值 $\lambda_i$，考虑 $B_i = A - \lambda_i E$。
3. 计算 $B_i, B_i^2, B_i^3, \dots$ 的秩，直到秩不再变化 (或幂为零)。
4. 根据秩的变化情况确定 Jordan 块的大小和个数。
   例如，对于特征值 $\lambda$：
   • $d_1 = \text{dim}(\text{ker}(A-\lambda E)) = n - \text{rank}(A-\lambda E)$ 是 $\lambda$ 对应的 Jordan 块总数。
   • $d_2 = \text{dim}(\text{ker}((A-\lambda E)^2)) = n - \text{rank}((A-\lambda E)^2)$。
   • $d_j - d_{j-1}$ 表示长度至少为 $j$ 的 Jordan 链的数目。
   • 一个 $m \times m$ 的 Jordan 块 $J_m(\lambda)$ 贡献给 $\text{dim}(\text{ker}((A-\lambda E)^j))$ 的维度是 $\min(j, m)$。
5. 构造 Jordan 链：
   • 从 $\text{ker}((A-\lambda E)^p) / \text{ker}((A-\lambda E)^{p-1})$ 中选取向量作为长度为 $p$ 的链的链首。
   • 通过 $(A-\lambda E)$ 作用得到链中其他向量。
6. 将所有 Jordan 链的基向量组合起来构成相似变换矩阵 $P$。
   $P^{-1}AP = J$。

PPT 中还提到了 $A$ 和 $A^T$ 有相同的 Jordan 标准型 (因为它们相似于同一个 Jordan 标准型的转置，而 Jordan 块的转置可以通过改变基的顺序变回原来的 Jordan 块，或者说它们有相同的初等因子和不变因子)。

总结

这一部分是线性代数中比较高级和核心的内容。

• Cayley-Hamilton 定理 表明每个矩阵都满足其自身的特征方程。
• 最小多项式 是次数最低的零化多项式，它包含了关于矩阵代数性质的关键信息，尤其是与可对角化的关系。
• Jordan 标准型 揭示了任何复方阵在相似变换下的最简形式，即使矩阵不可对角化。它由对应于特征值的Jordan块构成。
• 理解广义特征子空间和Jordan链是构造Jordan标准型的基础。

这部分内容对于理解矩阵的深层结构、求解常系数线性微分方程组等都有重要应用。