Chapter8 MATH1408

对偶空间、伴随算子与双线性型

1. 对偶空间 (Dual Space)

1.1 线性函数/线性泛函 (Linear Functional)

• 设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个向量空间。一个从 $V$ 到 $F$ 的线性映射 $f: V \to F$ 称为 $V$ 上的一个线性函数或线性泛函。
  • 即，对任意 $\alpha, \beta \in V$ 和任意标量 $k \in F$，满足：
    1. $f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)$
    2. $f(k\alpha) = k f(\alpha)$
• $V$ 上所有线性泛函的集合，关于通常的函数加法和标量乘法，构成数域 $F$ 上的一个向量空间，称为 $V$ 的对偶空间 (Dual Space)，记作 $V^{*}$。

1.2 Riesz 表示定理 (针对有限维内积空间)

• 定理: 设 $V$ 是一个 $n$ 维（欧几里得或酉）内积空间 (Inner Product Space)，其内积记为 $(\cdot, \cdot)$。则对于 $V$ 上的任意一个线性泛函 $f \in V^{*}$，存在唯一的向量 $v \in V$，使得对所有 $x \in V$，都有：
  $f(x) = (x, v)$
• 证明思路:
  1. 存在性:
     • 取 $V$ 的一组标准正交基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n$。
     • 令 $v = \overline{f(\varepsilon_1)}\varepsilon_1 + \overline{f(\varepsilon_2)}\varepsilon_2 + \dots + \overline{f(\varepsilon_n)}\varepsilon_n$。（在实空间中，共轭符号可以省略）。
     • 对于任意 $x = \sum x_i \varepsilon_i \in V$：
       $(x, v) = (\sum x_i \varepsilon_i, \sum \overline{f(\varepsilon_j)}\varepsilon_j) = \sum_i \sum_j x_i f(\varepsilon_j) (\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \sum_i x_i f(\varepsilon_i)$
       $f(x) = f(\sum x_i \varepsilon_i) = \sum x_i f(\varepsilon_i)$
       所以 $(x,v) = f(x)$。
  2. 唯一性:
     • 假设存在另一个向量 $u \in V$ 使得 $f(x) = (x, u)$ 对所有 $x \in V$ 成立。
     • 则 $(x, v) = (x, u)$，即 $(x, v-u) = 0$ 对所有 $x \in V$ 成立。
     • 特别地，取 $x = v-u$，则 $(v-u, v-u) = 0$，这意味着 $v-u = 0$，即 $v=u$。
       □

1.3 对偶基 (Dual Basis)

• 设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间，$\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基。
• 存在 $V^{*}$ 中的一组唯一的基 $\{f^1, f^2, \dots, f^n\}$，称为相对于基 $\{e_i\}$ 的对偶基，满足：
  $f^i(e_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{if } i=j \\ 0, & \text{if } i \ne j \end{cases}$
• 证明:
  1. 构造与存在性: 对每个 $i=1, \dots, n$，定义 $f^i: V \to F$ 如下：对任意 $x = \sum_{k=1}^n x_k e_k \in V$，令 $f^i(x) = x_i$。容易验证 $f^i$ 是线性的且 $f^i(e_j) = \delta_{ij}$。
  2. 线性无关: 设 $\sum_{i=1}^n k_i f^i = 0$ (零泛函)。将其作用于 $e_j$：
     $(\sum k_i f^i)(e_j) = \sum k_i f^i(e_j) = \sum k_i \delta_{ij} = k_j = 0(e_j) = 0$。
     由于对所有 $j$ 都成立，所以 $k_1 = \dots = k_n = 0$。因此 $\{f^i\}$ 线性无关。
  3. 生成性: 对任意 $f \in V^{*} $，令 $a_i = f(e_i)$。考虑泛函 $g = \sum_{i=1}^n a_i f^i$。
     对任意基向量 $e_j$，$g(e_j) = (\sum a_i f^i)(e_j) = \sum a_i \delta_{ij} = a_j = f(e_j)$。
     由于 $f$ 和 $g$ 在基向量上的取值相同，所以 $f=g$。因此 $\{f^i\}$ 生成 $V^{*}$。
     □
• 推论: 如果 $V$ 是有限维的，则 $\dim V = \dim V^{*}$。

1.4 自然配对 (Natural Pairing) / 典范配对 (Canonical Pairing)

• 定义一个映射 $\langle \cdot, \cdot \rangle : V^{*} \times V \to F$ (或 $V \times V^{*} \to F$) 为：
  $\langle f, x \rangle = f(x)$ (或 $\langle x, f \rangle = f(x)$)
• 这个配对是非退化的 (non-degenerate)：
  1. 如果对所有 $x \in V$，$\langle f, x \rangle = 0$，则 $f=0$ (零泛函)。
  2. 如果对所有 $f \in V^{*}$，$\langle f, x \rangle = 0$，则 $x=0$ (零向量)。
     • 证明(2): 若 $x \ne 0$，则可以将其扩充为 $V$ 的一组基 $\{x, e_2, \dots, e_n\}$。构造其对偶基的第一个元素 $f^1$ 使得 $f^1(x)=1 \ne 0$，矛盾。

1.5 再对偶空间 (Double Dual Space) $V^{**}$

• $V^{**} = (V^{*})^{*}$ 是 $V^{*}$ 的对偶空间。
• 存在一个从 $V$到 $V^{**}$ 的典范同构 (Canonical Isomorphism) $\Phi: V \to V^{**}$，定义为：
  对于任意 $x \in V$，$\Phi(x)$ 是 $V^{*}$ 上的一个线性泛函，它作用于 $f \in V^{*}$ 的方式是：
  $(\Phi(x))(f) = f(x) = \langle f, x \rangle$
• 证明 $\Phi$ 是同构:
  1. 线性: 容易验证 $\Phi(kx_1+x_2) = k\Phi(x_1) + \Phi(x_2)$。
  2. 单射 (Injective): 若 $\Phi(x) = 0$ ( $V^{**}$ 中的零泛函)，则对所有 $f \in V^{*}$，$(\Phi(x))(f) = f(x) = 0$。由上面自然配对的非退化性，知 $x=0$。所以 $\ker \Phi = \{0\}$。
  3. 同维: 因为 $\dim V = \dim V^{*} = \dim V^{**}$ (对于有限维空间)。
  4. 因此 $\Phi$ 是一个同构。
• 由于这个同构是“自然的”（不依赖于基的选择），我们通常将 $V$ 和 $V^{**}$ 等同 (identify) 起来，即 $V \cong V^{**}$。
  我们可以说 $V$ 上的元素 $x$ 可以看作是 $V^{*}$ 上的一个线性泛函，其作用方式是 $x(f) = f(x)$。

2. 伴随算子 (Adjoint Operator)

2.1 定义 (针对内积空间)

• 设 $V$ 是一个有限维（欧几里得或酉）内积空间，$\phi: V \to V$ 是一个线性算子。
• 存在唯一的线性算子 $\phi^{*}: V \to V$，称为 $\phi$ 的伴随算子 (Adjoint Operator)，满足对所有 $u, v \in V$：
  $(\phi(u), v) = (u, \phi{^*}(v))$
• 证明:
  1. 存在性: 对固定的 $v \in V$，考虑映射 $L_v: u \mapsto (\phi(u), v)$。$L_v$ 是 $V$ 上的一个线性泛函。
     由 Riesz 表示定理，存在唯一的向量 $v_1 \in V$ 使得 $L_v(u) = (\phi(u), v) = (u, v_1)$ 对所有 $u \in V$ 成立。
     定义 $\phi{^*}(v) = v_1$。
  2. 线性: 设 $\phi{^*}(v_1) = w_1, \phi^{*}(v_2) = w_2$。则
     $(\phi(u), kv_1+v_2) = \overline{k}(\phi(u), v_1) + (\phi(u), v_2)$ (在复空间中)
     $= \overline{k}(u, w_1) + (u, w_2) = (u, kw_1+w_2)$。
     所以 $\phi^{*}(kv_1+v_2) = kw_1+w_2 = k\phi^{*}(v_1) + \phi^{*}(v_2)$。
  3. 唯一性: 假设存在另一个算子 $\psi$ 满足 $(\phi(u), v) = (u, \psi(v))$。
     则 $(u, \phi^{*}(v)) = (u, \psi(v))$ 对所有 $u,v$ 成立。即 $(u, \phi^{*}(v) - \psi(v)) = 0$。
     取 $u = \phi^{*}(v) - \psi(v)$，得到 $\phi^{*}(v) - \psi(v) = 0$，所以 $\phi^{*} = \psi$。
     □

2.2 在标准正交基下的矩阵表示

• 设 $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组标准正交基。
• 若 $\phi$ 在此基下的矩阵为 $A = (a_{ij})$，则 $\phi(\varepsilon_j) = \sum_k a_{kj} \varepsilon_k$。
• $(\phi(\varepsilon_j), \varepsilon_i) = (\sum_k a_{kj} \varepsilon_k, \varepsilon_i) = a_{ij}$。
• 设 $\phi^{*}$ 在此基下的矩阵为 $B = (b_{ij})$，则 $\phi^{*}(\varepsilon_j) = \sum_k b_{kj} \varepsilon_k$。
• $(\varepsilon_j, \phi^{*}(\varepsilon_i)) = (\varepsilon_j, \sum_k b_{ki} \varepsilon_k) = \overline{b_{ji}}$ (在复空间中；实空间中为 $b_{ji}$)。
• 由伴随定义 $a_{ij} = \overline{b_{ji}}$。所以 $B = A^{*}$ (矩阵的共轭转置，或实数域中的转置 $A^T$)。
• 结论: 在标准正交基下，伴随算子 $\phi^{*}$ 的矩阵是原算子 $\phi$ 的矩阵的共轭转置 (Hermitian transpose) $A^{*}$ (或转置 $A^T$ 如果是实空间)。

2.3 伴随算子的性质

• $(\phi + \psi)^{*} = \phi^{*} + \psi^{*}$
• $(k\phi)^{*} = \overline{k} \phi^{*}$ (在实空间中为 $k\phi^{*}$)
• $(\phi\psi)^{*} = \psi^{*} \phi^{*}$
• $(\phi^{*})^{*} = \phi$

2.4 自伴算子 (Self-Adjoint Operator)

• 如果 $\phi^{*} = \phi$，则称 $\phi$ 是自伴算子。
  • 在实欧氏空间中，称为对称算子 (Symmetric Operator)。其矩阵表示为对称矩阵 $A^T=A$ (在标准正交基下)。
  • 在复酉空间中，称为埃尔米特算子 (Hermitian Operator)。其矩阵表示为埃尔米特矩阵 $A^{*}=A$ (在标准正交基下)。
• 性质:
  • 自伴算子的特征值都是实数。
  • 自伴算子对应于不同特征值的特征向量是正交的。
  • 自伴算子总可以被正交/酉对角化 (存在一组标准正交的特征向量基)。
  • 如果 $U$ 是 $\phi$-不变子空间，则 $U^\perp$ 也是 $\phi$-不变子空间。

3. 对偶变换 (Dual Transformation) / 转置映射 (Transpose Map)

• 设 $U, V$ 是数域 $F$ 上的向量空间，$A: U \to V$ 是一个线性映射。
• 定义 $A$ 的对偶变换 (Dual Transformation) 或转置映射 (Transpose Map) $A^{*}: V^{*} \to U^{*}$ (注意方向相反) 如下：
  对于任意 $f \in V^{*}$ (即 $f: V \to F$ 是线性泛函)，$A^{*}(f)$ 是 $U^{*}$ 中的一个元素 (即 $A^{*}(f): U \to F$ 是线性泛函)，其定义为：
  $(A^{*}(f))(x) = f(A(x))$ 对所有 $x \in U$。
  也可以写作 $A^{*}(f) = f \circ A$。
• 验证 $A^{*}$ 是线性的:
  设 $f_1, f_2 \in V^{*}$, $k \in F$。
  $(A^{*}(k f_1 + f_2))(x) = (k f_1 + f_2)(A(x)) = k f_1(A(x)) + f_2(A(x))$
  $= k (A^{*}(f_1))(x) + (A^{*}(f_2))(x) = (k A^{*}(f_1) + A^{*}(f_2))(x)$。
  所以 $A^{*}(k f_1 + f_2) = k A^{*}(f_1) + A^{*}(f_2)$。
• 与自然配对的关系:
  $\langle A^{*}(f), x \rangle_U = \langle f, A(x) \rangle_V$
  (其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle_U$ 是 $U^{*} \times U \to F$ 的配对, $\langle \cdot, \cdot \rangle_V$ 是 $V^{*} \times V \to F$ 的配对)
  这个形式非常类似于内积空间中伴随算子的定义。

3.1 对偶变换的性质

设 $A: U \to V$, $B: V \to W$ 是线性映射。

1. 唯一性: 满足 $\langle A^{*}(f), x \rangle_U = \langle f, A(x) \rangle_V$ 的线性映射 $A^{*}: V^{*} \to U^{*}$ 是唯一的。
2. $(BA)^{*} = A^{*} B^{*}$ (注意顺序)
3. 若 $I: V \to V$ 是恒等映射，则 $I^{*}: V^{*} \to V^{*}$ 也是恒等映射。
4. $A$ 是单射 $\iff A^{*}$ 是满射。
5. $A$ 是满射 $\iff A^{*}$ 是单射。
6. $A$ 是同构 $\iff A^{*}$ 是同构。

3.2 对偶变换的矩阵表示

• 设 $\{e_i\}$ 是 $U$ 的基，$\{u_j\}$ 是 $V$ 的基。
• 设 $\{f^i\}$ 是 $U^{*}$ 中 $\{e_i\}$ 的对偶基，$\{v^j\}$ 是 $V^{*}$ 中 $\{u_j\}$ 的对偶基。
• 若 $A$ 关于基 $\{e_i\}$ 和 $\{u_j\}$ 的矩阵为 $M = (m_{ji})$ (即 $A(e_i) = \sum_j m_{ji} u_j$)。
• 则 $A^{*}$ 关于基 $\{v^j\}$ 和 $\{f^i\}$ 的矩阵为 $M^T$ (矩阵的转置)。
  • 证明: 设 $A^{*}(v^k) = \sum_l c_{lk} f^l$。
    $c_{ik} = (A^{*}(v^k))(e_i) = v^k(A(e_i)) = v^k(\sum_j m_{ji} u_j) = \sum_j m_{ji} v^k(u_j) = \sum_j m_{ji} \delta_{kj} = m_{ki}$。
    所以 $c_{ik} = m_{ki}$，这意味着 $A^{*}$ 的矩阵是 $M^T$。

3.3 行向量空间与列向量空间

• 如果 $V = F^n$ (列向量空间)，$V_1 = F^m$ (行向量空间)。
• 则 $V_1$ 可以看作是 $V$ 的对偶空间 $V^{*}$ (通过标准内积/点积 $Y X$)。
• 若线性映射 $A: F^n \to F^m$ 由矩阵 $M$ 定义 ($A(X) = MX$)。
• 则其对偶变换 $A^{*}: (F^m)^{*} \to (F^n)^{*}$ 可以看作是从 $F^m$ (行向量) 到 $F^n$ (行向量) 的映射，由 $A^{*}(Y) = YM$ 定义。
  $\langle Y, AX \rangle = Y(AX) = (YA)X = \langle YA, X \rangle$。

4. 双线性型 (Bilinear Form)

4.1 定义

• 设 $U, V$ 是数域 $F$ 上的向量空间。一个映射 $g: U \times V \to F$ 称为一个双线性型 (Bilinear Form)，如果它对每个变量都是线性的：
  1. 对固定的 $v \in V$，映射 $u \mapsto g(u,v)$ 是 $U$ 上的线性泛函。
     $g(k u_1 + u_2, v) = k g(u_1, v) + g(u_2, v)$
  2. 对固定的 $u \in U$，映射 $v \mapsto g(u,v)$ 是 $V$ 上的线性泛函。
     $g(u, k v_1 + v_2) = k g(u, v_1) + g(u, v_2)$
• 如果 $U=V$，则称 $g$ 是 $V$ 上的双线性型。

4.2 双线性型的矩阵表示

• 设 $g: U \times V \to F$ 是双线性型。
• 设 $\{u_1, \dots, u_m\}$ 是 $U$ 的一组基，$\{v_1, \dots, v_n\}$ 是 $V$ 的一组基。
• 定义 $m \times n$ 矩阵 $A = (a_{ij})$，其中 $a_{ij} = g(u_i, v_j)$。称 $A$ 是 $g$ 关于这两组基的矩阵表示。
• 若 $x = \sum x_i u_i \in U$ (坐标向量 $X = [x_1, \dots, x_m]^T$)，
  $y = \sum y_j v_j \in V$ (坐标向量 $Y = [y_1, \dots, y_n]^T$)
• 则 $g(x,y) = g(\sum x_i u_i, \sum y_j v_j) = \sum_i \sum_j x_i y_j g(u_i, v_j) = \sum_i \sum_j x_i a_{ij} y_j = X^T A Y$。

4.3 基变换对矩阵表示的影响

• 设 $U$ 中的新基 $\{u’_k\}$ 与旧基 $\{u_i\}$ 的关系为 $u’_k = \sum_i p_{ik} u_i$ (即 $[u’_1, \dots, u’_m] = [u_1, \dots, u_m]P$，坐标变换 $X = PX’$）。
• 设 $V$ 中的新基 $\{v’_l\}$ 与旧基 $\{v_j\}$ 的关系为 $v’_l = \sum_j q_{jl} v_j$ (即 $[v’_1, \dots, v’_n] = [v_1, \dots, v_n]Q$，坐标变换 $Y = QY’$）。
• 则 $g$ 在新基下的矩阵 $A’$ 满足 $A’ = P^T A Q$。
• 如果 $U=V$ 且使用相同的基变换矩阵 $P$ (即 $Q=P$)，则 $A’ = P^T A P$。
  称矩阵 $A$ 和 $A’$ 是合同 (Congruent) 的。

4.4 双线性型的秩 (Rank)

• 双线性型 $g$ 的矩阵表示 $A$ 的秩不依赖于基的选择 (因为 $P, Q$ 是可逆的)。
• 这个秩称为双线性型 $g$ 的秩，记作 $\text{rank}(g)$。
• 定理: 设 $g: U \times V \to F$ 是双线性型。存在 $U$ 的基 $\{u_i\}$ 和 $V$ 的基 $\{v_j\}$ 使得 $g$ 在这些基下的矩阵为：
  $D_r = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$
  其中 $E_r$ 是 $r \times r$ 的单位矩阵，$r = \text{rank}(g)$。
  这个矩阵 $D_r$ 称为 $g$ 的标准型 (Canonical Form)。

4.5 左核与右核 (Left Kernel and Right Kernel)

• 设 $g: U \times V \to F$ 是双线性型。
• $g$ 的左核 (Left Kernel): $L = \{ u \in U \mid g(u,v)=0 \text{ for all } v \in V \}$。
• $g$ 的右核 (Right Kernel): $R = \{ v \in V \mid g(u,v)=0 \text{ for all } u \in U \}$。
• $L$ 是 $U$ 的子空间，$R$ 是 $V$ 的子空间。
• $\dim L = \dim U - \text{rank}(g)$
• $\dim R = \dim V - \text{rank}(g)$
• 如果左核和右核都只包含零向量 (即 $L=\{0\}$ 和 $R=\{0\}$)，则称 $g$ 是非退化 (Non-degenerate) 的。
• 定理: 双线性型 $g$ 是非退化的当且仅当其矩阵表示 $A$ 是可逆的 (当 $\dim U = \dim V = \text{rank}(g)$ 时)。

4.6 非退化双线性型与对偶空间的同构

• 若 $g: U \times V \to F$ 是非退化双线性型。
  1. 映射 $\phi: U \to V^{*}$ 定义为 $(\phi(u))(v) = g(u,v)$ 是一个线性同构 (当 $\dim U = \dim V$ 时)。
     • 线性: 显然。
     • 单射: 若 $\phi(u) = 0$ (零泛函)，则 $g(u,v)=0$ 对所有 $v \in V$。由于 $g$ 非退化 (右核为0，这意味着如果 $u \ne 0$，必有某个 $v$ 使 $g(u,v) \ne 0$；或者说左核为0)，所以 $u=0$。
     • 若 $\dim U = \dim V^{*} (= \dim V)$，则 $\phi$ 是同构。
  2. 类似地，映射 $\psi: V \to U^{*}$ 定义为 $(\psi(v))(u) = g(u,v)$ 也是一个线性同构。
• 这意味着非退化双线性型在 $U$ 和 $V^{*}$ (以及 $V$ 和 $U^{*}$) 之间建立了一个自然的同构关系。
• 特别地，内积 $(\cdot, \cdot)$ 就是一个非退化双线性型 (实数域上) 或半双线性型 (复数域上)，它建立了 $V$ 和 $V^{*}$ 之间的同构 (Riesz 表示定理)。

5. 特殊类型的双线性型 ($U=V$)

设 $g: V \times V \to F$ 是 $V$ 上的双线性型。

5.1 对称双线性型 (Symmetric Bilinear Form)

• 定义: $g(x,y) = g(y,x)$ 对所有 $x,y \in V$。
• 矩阵表示: $A^T = A$ (对称矩阵，相对于任意基)。
• 正交性 (Orthogonality): 若 $g(x,y)=0$，则称 $x$ 与 $y$ 关于 $g$ 正交，记作 $x \perp_g y$。
  (由于对称性，$x \perp_g y \iff y \perp_g x$)。
• 子空间 $W \subset V$ 的正交补 (Orthogonal Complement):
  $W^\perp = \{ v \in V \mid g(v,w)=0 \text{ for all } w \in W \}$。
  $W^\perp$ 是 $V$ 的一个子空间。
• 注意: 与内积空间不同，这里 $W \cap W^\perp$ 可能不是 $\{0\}$ (除非 $g$ 在 $W$ 上的限制是非退化的)。
  $V = W \oplus W^\perp$ 成立的条件是 $g$ 在 $W$ 上的限制是非退化的。
• 核 (Kernel) / 根 (Radical): $\text{rad}(V) = V^\perp = \{ v \in V \mid g(v,x)=0 \text{ for all } x \in V \}$。
  $g$ 是非退化的 $\iff \text{rad}(V) = \{0\}$。

5.2 斜对称/反称双线性型 (Skew-symmetric/Antisymmetric Bilinear Form)

• 定义: $g(x,y) = -g(y,x)$ 对所有 $x,y \in V$。
• 矩阵表示: $A^T = -A$ (斜对称/反称矩阵，相对于任意基)。
• 一个重要的推论: $g(x,x) = -g(x,x) \Rightarrow 2g(x,x)=0$。
  • 如果数域 $F$ 的特征 $\text{char}(F) \ne 2$ (例如 $\mathbb{R}, \mathbb{C}$)，则 $g(x,x)=0$ 对所有 $x \in V$。
  • 当 $g(x,x)=0$ 对所有 $x \in V$ 时，称 $g$ 是交错双线性型 (Alternating Bilinear Form)。
  • 如果 $\text{char}(F) \ne 2$，则斜对称与交错是等价的。
    (由 $g(x+y, x+y)=0$ 展开可得 $g(x,y)+g(y,x)=0$)

5.3 双线性型与线性算子的伴随 (Adjoint of an Operator with respect to a Bilinear Form)

• 设 $g: V \times V \to F$ 是一个非退化双线性型。
• 对任意线性算子 $\phi: V \to V$，存在唯一的线性算子 $\phi^{\text{adj}_g}: V \to V$，称为 $\phi$ 关于 $g$ 的伴随 (Adjoint)，使得：
  $g(\phi(x), y) = g(x, \phi^{\text{adj}_g}(y))$ 对所有 $x,y \in V$。
• 证明: 类似内积空间伴随算子的证明，利用 $g$ 的非退化性以及 $V$ 与 $V^{*}$ 的同构。
  • 固定 $y$，映射 $L_y(x) = g(\phi(x),y)$ 是 $V$ 上的线性泛函。
  • 由于 $g$ 非退化，存在同构 $\Phi_g: V \to V^{*}$，$(\Phi_g(z))(x) = g(x,z)$。
  • $L_y \in V^{*}$，所以存在唯一的 $z_y \in V$ 使得 $L_y = \Phi_g(z_y)$，即 $g(\phi(x),y) = g(x, z_y)$。
  • 定义 $\phi^{\text{adj}_g}(y) = z_y$。
• 若 $g$ 是对称的，且 $A$ 是 $\phi$ 的矩阵， $B$ 是 $g$ 的矩阵（可逆），则 $\phi^{\text{adj}_g}$ 的矩阵 $C$ 满足 $A^T B = B C$，即 $C = B^{-1} A^T B$。
  (与相似变换 $P^{-1}AP$ 对比)

6. 辛空间 (Symplectic Space)

6.1 定义

• 一个辛空间 (Symplectic Space) $(V, \omega)$ 是一个向量空间 $V$ 配备一个非退化的、交错的 (因此也是斜对称的) 双线性型 $\omega: V \times V \to F$，称为辛形式 (Symplectic Form)。
  • $\omega(x,y) = -\omega(y,x)$ (斜对称)
  • $\omega(x,x) = 0$ (交错)
  • $\text{rad}(V) = \{0\}$ (非退化)

6.2 辛基 (Symplectic Basis) / 达布基 (Darboux Basis)

• 定理: 任何有限维辛空间 $(V, \omega)$ 都有偶数维，设为 $2r$。存在 $V$ 的一组基 $\{u_1, v_1, \dots, u_r, v_r\}$ (称为辛基或达布基) 使得：
  • $\omega(u_i, v_i) = 1$ for $i=1, \dots, r$
  • $\omega(v_i, u_i) = -1$ for $i=1, \dots, r$
  • 所有其他配对 $\omega(u_i, u_j)$, $\omega(v_i, v_j)$, $\omega(u_i, v_j)$ (当 $i \ne j$) 都为0。
• $\omega$ 在此基下的矩阵表示为 $J_{2r} = \begin{pmatrix} O_r & E_r \\ -E_r & O_r \end{pmatrix}$ 或 $\begin{pmatrix} O_r & -E_r \\ E_r & O_r \end{pmatrix}$ (取决于基的排列顺序，如 $u_1, \dots, u_r, v_1, \dots, v_r$)
  或者，如PPT中常见的形式，基排列为 $u_1, v_1, u_2, v_2, \dots$:
  矩阵为 $\text{diag}(S, S, \dots, S)$ 其中 $S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$。
• 证明思路 (构造性):
  1. 若 $\omega=0$ (零形式)，则 $r=0$，结论成立。
  2. 若 $\omega \ne 0$，则存在 $u,v$ 使得 $\omega(u,v) = a \ne 0$。
     令 $u_1 = a^{-1}u, v_1 = v$，则 $\omega(u_1, v_1) = 1$。
     $u_1, v_1$ 线性无关 (因为 $\omega(u_1, u_1)=0$)。
  3. 令 $W_1 = \text{span}\{u_1, v_1\}$。$\omega$ 在 $W_1$ 上的限制是非退化的。
     所以 $V = W_1 \oplus W_1^\perp$ (这里 $W_1^\perp = \{ x \in V \mid \omega(x,w)=0 \text{ for all } w \in W_1 \}$)
  4. 对 $W_1^\perp$ 和 $\omega$ 在其上的限制重复此过程。
     对任意 $x \in V$，令 $y = x - \omega(x,v_1)u_1 + \omega(x,u_1)v_1$。
     则 $\omega(y, u_1) = \omega(x,u_1) - \omega(x,u_1)\omega(v_1,u_1) = \omega(x,u_1) - \omega(x,u_1)(-1) = 0$? 这里计算有误。
     应该是 $\omega(y,u_1) = \omega(x,u_1) - \omega(x,v_1)\omega(u_1,u_1) + \omega(x,u_1)\omega(v_1,u_1) = \omega(x,u_1) + \omega(x,u_1)(-1)=0$。
     $\omega(y,v_1) = \omega(x,v_1) - \omega(x,v_1)\omega(u_1,v_1) + \omega(x,u_1)\omega(v_1,v_1) = \omega(x,v_1) - \omega(x,v_1)(1)=0$。
     所以 $y \in W_1^\perp$。
     因此 $x = y + (\omega(x,v_1)u_1 - \omega(x,u_1)v_1)$，其中 $y \in W_1^\perp$ 且第二项在 $W_1$ 中。
     所以 $V = W_1 + W_1^\perp$。由于 $W_1 \cap W_1^\perp = \{0\}$ (因为 $\omega$ 在 $W_1$ 上非退化)，所以是直和。
  5. 数学归纳法完成。
• 推论:
  • 任何有限维辛空间的维数都是偶数。
  • 任何域上的斜对称矩阵都合同于形如 $\text{diag}(S, \dots, S, O, \dots, O)$ 的矩阵，其秩必为偶数 $2r$。

6.3 辛变换 (Symplectic Transformation) / 保辛变换

• 设 $(V, \omega)$ 是一个辛空间。一个线性自同构 $\phi: V \to V$ 称为一个辛变换 (Symplectic Transformation) 或保辛变换 (Symplectomorphism)，如果它保持辛形式不变：
  $\omega(\phi(x), \phi(y)) = \omega(x,y)$ 对所有 $x,y \in V$。
• 性质:
  1. 辛变换保持辛基为辛基 (的线性组合形式)。
  2. 所有辛变换的集合构成一个群，称为辛群 (Symplectic Group)，记作 $Sp(V, \omega)$ 或 $Sp(2r, F)$。
  3. 恒等变换是辛变换。
  4. 辛变换的逆也是辛变换。
  5. 两个辛变换的复合也是辛变换。

7. 二次型 (Quadratic Form)

7.1 定义

• 设 $V$ 是数域 $F$ 上的向量空间 (通常假设 $\text{char}(F) \ne 2$)。
• 一个映射 $q: V \to F$ 称为一个二次型 (Quadratic Form)，如果存在一个双线性型 $g: V \times V \to F$ 使得：
  $q(x) = g(x,x)$ 对所有 $x \in V$。
• 可以取 $g$ 为对称双线性型，称为 $q$ 的极化形式 (Polar Form):
  $g(x,y) = \frac{1}{2} [q(x+y) - q(x) - q(y)]$
  (这由 $q(x+y) = g(x+y, x+y) = g(x,x) + g(x,y) + g(y,x) + g(y,y)$ 导出，若 $g$ 对称则 $g(x,y)+g(y,x) = 2g(x,y)$)。
• 二次型 $q$ 与其对称的极化形式 $g$ 之间是一一对应的。

7.2 二次型的矩阵表示

• 若 $g$ 的矩阵为 $A$ (对称矩阵)，则 $q(x) = X^T A X$，其中 $X$ 是 $x$ 的坐标向量。
• 二次型的对角化:
  • 任何对称双线性型 $g$ (因此任何二次型 $q$) 在某个基下都可以对角化，即其矩阵表示为对角矩阵 $\text{diag}(d_1, \dots, d_n)$。
  • 这意味着存在一组基 $\{e_1, \dots, e_n\}$ 使得 $g(e_i, e_j)=0$ 当 $i \ne j$ 时。
  • $q(x) = \sum_{i=1}^n d_i x_i^2$ (平方和形式)。

8. 正交变换 (Orthogonal Transformation) / 等距变换 (Isometry)

8.1 定义 (针对对称双线性型)

• 设 $V$ 是一个向量空间， $g: V \times V \to F$ 是一个（通常为非退化的）对称双线性型。
• 一个线性自同构 $\eta: V \to V$ 称为关于 $g$ 的正交变换 (Orthogonal Transformation) 或等距变换 (Isometry)，如果它保持 $g$ 不变：
  $g(\eta(x), \eta(y)) = g(x,y)$ 对所有 $x,y \in V$。
• 特别地，如果 $g$ 是内积 (如欧氏空间)，则这就是通常意义下的正交变换。
• 性质:
  1. 所有关于 $g$ 的正交变换的集合构成一个群，称为正交群 (Orthogonal Group)，记作 $O(V,g)$ 或 $O(n,F)$ (如果 $g$ 是标准形式)。
  2. 恒等变换是正交变换。
  3. 正交变换的逆也是正交变换。
  4. 两个正交变换的复合也是正交变换。

8.2 镜面反射 (Reflection) / Householder 变换

• 设 $v \in V$ 且 $g(v,v) \ne 0$ (即 $v$ 不是迷向向量 / isotropic vector)。
• 定义镜面反射 (Reflection) (或 Householder 变换) $S_v: V \to V$ 为：
  $S_v(x) = x - 2 \frac{g(x,v)}{g(v,v)} v$
• 性质:
  1. $S_v$ 是一个正交变换: $g(S_v(x), S_v(y)) = g(x,y)$。
     (展开验证，比较繁琐但直接)。
  2. $S_v(v) = -v$。
  3. 如果 $u \perp_g v$ (即 $g(u,v)=0$)，则 $S_v(u)=u$。
     (超平面 $\{x \mid g(x,v)=0\}$ 被 $S_v$ 固定)。
  4. $S_v^2 = I$ (恒等变换)，所以 $S_v^{-1} = S_v$。

8.3 Cartan-Dieudonné 定理

• 定理 (Cartan-Dieudonné): 设 $(V,g)$ 是一个 $n$ 维非退化对称双线性型空间 (在特征不为2的域上)。则任何正交变换 $\eta \in O(V,g)$都可以表示为至多 $n$ 个镜面反射的乘积。
• 证明思路 (归纳法):
  1. $n=1$: 若 $\eta(x) = cx$，则 $g(cx,cx) = c^2 g(x,x) = g(x,x) \Rightarrow c^2=1 \Rightarrow c=\pm 1$。
     若 $c=1$, $\eta=I$ (0个反射)。若 $c=-1$, $\eta = S_x$ (1个反射)。
  2. 假设对 $n-1$ 维成立。
  3. 如果存在 $u \in V$ 使得 $\eta(u)=u$ 且 $g(u,u) \ne 0$。
     则 $\eta$ 将 $u^\perp$ 映射到自身。$u^\perp$ 是 $n-1$ 维非退化空间。
     $\eta|_{u^\perp}$ 可以表示为 $u^\perp$ 中至多 $n-1$ 个反射的乘积。这些反射可以扩展到 $V$ 上的反射。
  4. 如果对所有 $g(u,u) \ne 0$ 的 $u$ 都有 $\eta(u) \ne u$。
     取 $u$ 使得 $g(u,u) \ne 0$。令 $v = \eta(u)$。则 $g(v,v)=g(u,u) \ne 0$。
     • 情况1: $g(u-v, u-v) \ne 0$。
       令 $\rho = S_{u-v}$。则 $\rho(u-v) = -(u-v) = v-u$。
       $\rho(u) - \rho(v) = v-u$。
       由于 $g(u+v, u-v) = g(u,u) - g(u,v) + g(v,u) - g(v,v) = -g(u,v) + g(v,u) = 0$ (因为 $g(u,u)=g(v,v)$)。
       所以 $u+v \perp_g u-v$。因此 $\rho(u+v) = u+v$。
       $\rho(u) + \rho(v) = u+v$。
       联立解得 $\rho(u)=v$ 且 $\rho(v)=u$。
       令 $\xi = \rho^{-1} \eta = \rho \eta$。则 $\xi(u) = \rho(\eta(u)) = \rho(v) = u$。
       现在 $\xi$ 固定了 $u$，可以应用情况3的论证。$\eta = \rho \xi$。
     • 情况2: $g(u-v, u-v) = 0$。需要更复杂的处理，或者选择不同的 $u$。
       (如果 $F=\mathbb{R}$ 且 $g$ 正定，则这种情况不会发生除非 $u=v$)
• 推论: 在 $n$ 维欧氏空间中，任何正交变换都可以表示为至多 $n$ 个关于超平面的反射的乘积。